算法时间复杂度和空间复杂度简介

一、数据结构

数据结构是一门研究非数值计算的程序设计问题中的操作对象，以及它们之间的关系和操作等相关问题的学科。

逻辑结构：是指数据对象中数据元素之间的相互关系，也是我们今后最需要关注和讨论的问题。

物理结构：是指数据的逻辑结构在计算机中的存储形式。

顺序存储结构：是把数据元素存放在地址连续的存储单元里，其数据间的逻辑关系和物理关系是一致的。

链式存储结构：是把数据元素存放在任意的存储单元里，这组存储单元可以是连续的，也可以是不连续的。

二、算法

算法：一个计算过程，解决问题的方法

算法的特性：输入、输出、有穷性、确定性、可行性

算法设计要求：正确性、可读性、健壮性、时间效率高和存储量低

程序＝数据结构+算法

算法时间复杂度

算法时间复杂度的定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度级，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。例子：

int i, n = 100, sum = 0;
for(i = 0; i < n; i++)
{
	sum += i;
} 

上面这段代码，它循环的时间复杂度为O(n)。因为循环体中的代码需要执行n次。

下面我们将代码嵌套一层循环：

for(i = 0; i < n; i++)
{
    for(j = i; j < n; j++)
        printf("%d",j);
}

注意这时第二层循环的j = i; 我们可以算出循环的公式为

n+(n-1)+(n-2)+···+1 = n(n+1)/2 = n²/2+n/2

由上面的公式 只保留最高项，去除最高项相乘的常数，最终得出O(n²)。

如何推导大O阶呢？

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项

3、如果最高项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数

4、得到的最后结果就是大o阶

常见的时间复杂度所耗费的时间从大到小依次是

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ) < O(n!) < O(nⁿ)

算法的空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法的空间复杂度的计算公式记作：S(n) = O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

通常我们都是用“时间复杂度”来指运行时间的需求，是用“空间复杂度”指空间需求。

值得注意的是，当直接要让我们求“复杂度”时，通常指的是时间复杂度。