线性回归的原理
什么是线性回归？
定义与公式
线性回归(Linear regression)是利用回归方程(函数)对一个或多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间关系进行建模的一种分析方式。
特点：只有一个自变量的情况称为单变量回归，多于一个自变量情况的叫做多元回归。通用公式如下：
其中w和x可以理解为：
我们一般将w叫做回归系数，将b叫做偏置。
怎么理解线性回归呢?
我们来看几个例子
●期末成绩 = 0.7考试成绩 + 0.3平时成绩
已知5个人的考试成绩和平时成绩，求他们的期末成绩。
用一个5* 2的矩阵A存放5个学生的2个特征值信息(考试成绩、平时成绩)
A=[ [90,80], [80,85], [70,80], [95,85], [75,85] ]
用一个12的矩阵B存放期末成绩构成系数
B=[0.7, 0.3]
期末成绩=矩阵A矩阵B的转置
●房子价格= 0.02中心区域的距离 + 0.04城市-氧化氮浓度 + (-0.12自住房平均房价)+0.254城镇犯罪率
用一个25的矩阵A存放2个房子的5个特征值信息
A=[[90, 80, 0.2, 85, 0.7], [80, 95, 0.15, 75, 0.85]]
用一个15的矩阵B存放房屋价格构成系数
B=[0.02, 0.04, -1, -0.12, 0.254]
房屋价格 = 矩阵A * 矩阵B的转置
上面两个例子，我们看到特征值与目标值之间建立了一个线性关系，这个关系可以理解为线性模型。
“回归”一词的来历
今天我们所知道的回归是由达尔文( Charles Darwin )的表兄弟Francis Galton发明的。Galton于1877年完成了第一次回归预测，目的是根据上一代豌豆种子(双亲)的尺寸来预测下一代豌豆种子(孩子)的尺寸。Galton在大量对象上应用了回归分析，甚至包括人的身高。他注意到，如果双亲的高度比平均高度高，他们的子女也倾向于比平均高度高，但尚不及双亲。孩子的高度向着平均高度回退(回归)。Galto在多项研究上都注意到这个现象，所以尽管这个英文单词跟数值预测没有任何关系，但这种研究方法仍被称作回归”。
线性回归的特性
- 优点：结果易于理解，计算上不复杂。
- 缺点：对非线性的数据拟合不好。
- 适用数据类型：数值型和标称型数据。
回归的一般方法
- (1)收集数据:采用任意方法收集数据。
- (2)准备数据:回归需要数值型数据，标称型数据将被转成二值型数据。
- (3)分析数据:绘出数据的可视化二维图将有助于对数据做出理解和分析，在采用缩减法求得新回归系数之后，可以将新拟合线绘在图上作为对比。
- (4)训练算法:找到回归系数。
- (5)测试算法:使用R2或者预测值和数据的拟合度，来分析模型的效果。
- (6)使用算法:使用回归，可以在给定输入的时候预测出一个数值，这是对分类方法的提升，因为这样可以预测连续型数据而不仅仅是离散的类别标签。
损失函数的引入
我们知道，一般情况下，我们预测的结果与真实结果之间存在着一定的的误差，既然存在这个误差,那我们就将这个误差给衡量出来，于是引入了损失函数cost
总损失函数定义为：
- y_ i为第i个训练样本的真实值
- h(x_ i)为第i个训练样本特征值组合预测函数
- 损失函数求的是平方误差和，又称最小二乘法
用矩阵表示还可以写做：
优化算法
如何去求出模型当中的W，使得损失最小?
(平方误差和越小，说明线性回归拟合效果越好。)
线性回归经常使用的两种优化算法
- 梯度下降
- 正规方程
使用正规方程优化线性回归
应当怎样从一大堆数据里求出回归方程呢？假定输人数据存放在矩阵x中，而回归系数存放在向量w中。那么对于给定的数据xi，预测结果将会通过Y1=X1^Tw 给出。现在的问题是，手里有一些x和对应的y，怎样才能找到w呢? 一个常用的方法就是找出使误差最小的w。这里的误差是指预测y值和真实y值之间的差值，使用该误差的简单累加将使得正差值和负差值相互抵消，所以我们采用平方误差。
w上方的小标记表示，这是当前可以估计出的w的最优解。从现有数据上估计出的w可能并不是数据中的真实w值，所以这里使用了一个“帽”符号来表示它仅是w的一个最佳估计。
值得注意的是，上述公式中包含(X^TX)^-1，也就是需要对矩阵求逆，因此这个方程只在逆矩阵存在的时候适用。然而,矩阵的逆可能并不存在,因此必须要在代码中对此作出判断。
上述的最佳w求解是统计学中的常见问题，除了矩阵方法外还有很多其他方法可以解决过调用NumPy库里的矩阵方法，我们可以仅使用几行代码就完成所需功能。该方法也称作OLS，意思是“普通最小二乘法”( ordinary least squares )。
示例代码
def loadDataSet(filename):
data = pd.read_csv(filename)
xArr = data.iloc[:, :-1].values
lgY = data.iloc[:, -1].values
data_num, features_num = np.shape(xArr)
lgX = np.mat(np.ones((data_num, features_num + 1)))
lgX[:, 1:5] = np .mat(xArr)
return lgX, lgY
def standRegres(xArr, yArr):
xMat = np.mat(xArr)
yMat = np.mat(yArr).T
xTx = xMat.T * xMat
if np.linalg.det(xTx) == 0.0:
print("矩阵为奇异矩阵,不能求逆")
return
ws = xTx.I * (xMat.T*yMat)
return ws第一个函数loadDataSet ()打开一个csv文件，这里仍然默认文件每行的最后一个值是 目标值。第二个函数standRegres ()用来计算最佳拟合直线。该函数首先读人x和y并将它们保存到矩阵中;然后计算x'x,然后判断它的行列式是否为零，如果行列式为零，那么计算逆矩阵的时候将出现错误。NumPy提供一个线性代数的库linalg，其中包含很多有用的函数。可以直接调用linalg.det()来计算行列式。最后，如果行列式非零，计算并返回w。如果没有检查行列式是否为零就试图计算矩阵的逆，将会出现错误。NumPy的线性代数库还提供一个函数来解未知矩阵，如果使用该函数，那么代码ws=xTx.I * (xMat .T * yMat)应写成ws=linalg.solve(xTx, xMat.T * yMatT)。
使用梯度下降优化线性回归
梯度下降是一个最优化算法，通俗的来讲也就是沿着梯度下降的方向来求出一个函数的极小值。
通常情况下，数据不可能完全符合我们的要求，所以很难用矩阵去求解，因此我们采用梯度下降，不断迭代，沿着梯度下降的方向来移动，求出极小值。
梯度下降算法
下一个位置 = 当前位置 - 学习率 * 梯度（循环直到结束）
结束标准：1.损失函数小于设定的值；2.运行了设置的周期数
该算法也就是沿着梯度下降的方向求出一个函数的极小值。
- 在一元函数中叫做求导。
- 在多元函数中就叫做求梯度。
迭代的过程用数学公式表达即为：
其中，a为步长，也就是学习速率，控制更新的幅度。
正规方程VS梯度下降
| 正规方程 | 梯度下降 |
| 不需要 | 需要选择学习率 |
| 一次运算得出 | 需要迭代求解 |
| 需要计算方程，时间复杂度高O(n^3) | 特征数量较大可以使用 |
选择：
V小规模数据：LinearRegression(正规方程)
V大规模数据：SGDRegressor
注：本文会持续更新其他线性回归的优化方法，同时也会出一篇实战文章。
